GUÍA 20-10-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · martes 20/10/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 21

Transformadas inversas

EL REGRESO

ℒ⁻¹{F(s)} = f(t). En la práctica no se calcula con una integral: se manipula F(s) algebraicamente hasta reconocer formas de la tabla.

LA HERRAMIENTA PRINCIPAL: FRACCIONES PARCIALES

La mayoría de las F(s) que salen al resolver un PVI son cocientes de polinomios. Descomponerlos en fracciones simples es lo que permite identificar cada término en la tabla.

LOS CASOS

• Factores lineales distintos: A/(s−a) + B/(s−b).
• Factor lineal repetido: A/(s−a) + B/(s−a)².
• Factor cuadrático irreducible: (As+B)/(s²+ps+q).

EJEMPLO

F(s) = (s+7)/(s²−s−6) = (s+7)/[(s−3)(s+2)]. Descomponiendo: A/(s−3) + B/(s+2) con A = 2 y B = −1. Por lo tanto f(t) = 2e^(3t) − e^(−2t).

COMPLETAR EL CUADRADO

Cuando el denominador cuadrático no factoriza, se completa el cuadrado para llevarlo a la forma (s−a)² + k². Eso conecta con el teorema de traslación en s de la sesión 23 y produce senos y cosenos multiplicados por exponenciales.

LINEALIDAD DE LA INVERSA

ℒ⁻¹ también es lineal, así que se descompone y se transforma término por término.

EJERCICIOS

Zill, sección 7.2. Practicar fracciones parciales aparte si están oxidadas: es el cuello de botella real de toda la unidad.