GUÍA 22-10-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · jueves 22/10/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 22

Transformada de derivadas · Solución de problemas de valor inicial

EL TEOREMA CLAVE

• ℒ{f'(t)} = sF(s) − f(0)
• ℒ{f''(t)} = s²F(s) − s·f(0) − f'(0)
• En general: ℒ{f⁽ⁿ⁾} = sⁿF(s) − s^(n−1)f(0) − … − f^(n−1)(0)

Nota que las condiciones iniciales entran solas en la transformada. Esa es la ventaja decisiva del método: no hay que resolver primero la general y después imponer condiciones.

EL PROCEDIMIENTO COMPLETO

1. Aplicar ℒ a toda la ecuación, término por término.

2. Sustituir las condiciones iniciales donde aparecen.

3. Despejar Y(s) algebraicamente.

4. Descomponer en fracciones parciales.

5. Aplicar ℒ⁻¹ término por término.

EJEMPLO

y'' − 3y' + 2y = 0, con y(0) = 1 y y'(0) = 0. Transformando: s²Y − s − 3(sY − 1) + 2Y = 0, de donde Y(s²−3s+2) = s − 3 y Y = (s−3)/[(s−1)(s−2)]. Fracciones parciales: 2/(s−1) − 1/(s−2). Por lo tanto y(t) = 2e^t − e^(2t).

COMPARACIÓN CON LOS MÉTODOS ANTERIORES

Con coeficientes constantes y condiciones iniciales, Laplace suele ser más largo que la ecuación auxiliar. La ventaja aparece cuando g(t) es discontinua o impulsiva, que es lo que veremos en las próximas dos sesiones.

EJERCICIOS

Zill, sección 7.2: resolver PVI con transformada.