GUÍA 27-10-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · martes 27/10/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 23

Traslación en el eje s · Primer teorema de traslación

EL TEOREMA

Si ℒ{f(t)} = F(s), entonces ℒ{e^(at)f(t)} = F(s−a). Multiplicar por una exponencial en el dominio del tiempo equivale a desplazar la variable en el dominio de s.

CONSECUENCIAS DIRECTAS

• ℒ{e^(at)t^n} = n!/(s−a)^(n+1)
• ℒ{e^(at)sen kt} = k/[(s−a)²+k²]
• ℒ{e^(at)cos kt} = (s−a)/[(s−a)²+k²]

LA FORMA INVERSA

ℒ⁻¹{F(s−a)} = e^(at)f(t). En la práctica: si en el denominador aparece (s−a)² + k², se completa el cuadrado, se reconoce la traslación y el resultado lleva un factor e^(at).

EJEMPLO

ℒ⁻¹{1/(s²−4s+13)}. Completando el cuadrado: (s−2)² + 9. Como ℒ⁻¹{3/(s²+9)} = sen 3t, se tiene ℒ⁻¹{1/((s−2)²+9)} = (1/3)e^(2t)sen 3t.

INTERPRETACIÓN

Este teorema es la contraparte de las raíces complejas α ± βi de la unidad 2: en ambos casos se obtiene una oscilación multiplicada por una exponencial. La parte real de la raíz es el mismo a de la traslación.

EJERCICIOS

Zill, sección 7.3, primera parte.