GUÍA 29-10-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · jueves 29/10/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 24

Traslación en el eje t · Función escalón unitario

LA FUNCIÓN ESCALÓN

𝒰(t−a) vale 0 para t < a y 1 para t ≥ a. Es el interruptor: modela algo que se enciende en el instante a.

ESCRIBIR FUNCIONES POR TRAMOS

Una función definida a pedazos se expresa con escalones y así se transforma de una sola vez, sin partir la integral.

• f(t) = g(t) para t < a, y h(t) para t ≥ a → f(t) = g(t) + [h(t) − g(t)]𝒰(t−a).

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN

• ℒ{f(t−a)𝒰(t−a)} = e^(−as)F(s)
• Forma alternativa, más útil en la práctica: ℒ{g(t)𝒰(t−a)} = e^(−as)ℒ{g(t+a)}
• Inversa: ℒ⁻¹{e^(−as)F(s)} = f(t−a)𝒰(t−a)

EL DETALLE QUE SE FALLA

El teorema exige que el argumento de la función sea exactamente (t−a), el mismo del escalón. Si no lo es, hay que forzarlo reescribiendo la función, y de ahí la forma alternativa con g(t+a).

ℒ{𝒰(T−A)} = E^(−AS)/S

POR QUÉ ESTO JUSTIFICA TODO EL MÉTODO

Un circuito al que se le aplica voltaje en t = 2 y se le quita en t = 5 se resuelve aquí de forma directa. Con coeficientes indeterminados habría que resolver tres problemas separados y empalmar las condiciones en cada frontera.

EJERCICIOS

Zill, sección 7.3, segunda parte.