GUÍA 15-10-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · jueves 15/10/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 20

Transformada de Laplace · Definición

LA DEFINICIÓN

ℒ{f(t)} = F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt, siempre que la integral converja. Es una integral impropia con parámetro: convierte una función de t en una función de s.

POR QUÉ SIRVE

Transforma la derivación en multiplicación. Una ecuación diferencial en t se vuelve una ecuación algebraica en s, se despeja, y se regresa. Es el mismo principio del logaritmo, que convierte productos en sumas.

TRANSFORMADAS BÁSICAS

• ℒ{1} = 1/s
• ℒ{t^n} = n!/s^(n+1)
• ℒ{e^(at)} = 1/(s−a)
• ℒ{sen kt} = k/(s²+k²)
• ℒ{cos kt} = s/(s²+k²)

LINEALIDAD

ℒ{αf + βg} = αℒ{f} + βℒ{g}. Con la linealidad y la tabla se transforma casi cualquier función del curso sin volver a integrar.

CONDICIONES DE EXISTENCIA

Si f es continua por tramos en [0,∞) y de orden exponencial —es decir, |f(t)| ≤ Me^(ct) para t grande—, la transformada existe para s > c. Casi todo lo de ingeniería cumple ambas.

LO QUE LA HACE DISTINTA

Acepta funciones discontinuas. Un interruptor que se cierra en t = 5 o un impulso instantáneo no se manejan bien con los métodos anteriores y aquí son rutina.

EJERCICIOS

Zill, sección 7.1: calcular transformadas por definición y luego verificar con tabla.