GUÍA 13-10-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · martes 13/10/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 19

Vibraciones forzadas y resonancia

SISTEMA FORZADO

mx'' + βx' + kx = F(t). La solución tiene dos partes con nombres físicos: la complementaria es el transitorio, que decae, y la particular es el estado estacionario, que persiste.

RESONANCIA PURA

Si no hay amortiguamiento y la frecuencia de la fuerza coincide con la natural, x'' + ω²x = F₀sen ωt, la regla de multiplicidad obliga a que y_p lleve un factor t. La amplitud crece sin cota.

Ese factor t explica físicamente la resonancia: la energía entra en fase en cada ciclo y se acumula. Es la razón por la que se rompen estructuras y por la que los puentes se diseñan considerando frecuencias naturales.

RESONANCIA CON AMORTIGUAMIENTO

Con β > 0 la amplitud ya no crece indefinidamente, pero alcanza un máximo a una frecuencia cercana a la natural. Se llama resonancia práctica y es lo que ocurre en sistemas reales.

ANALOGÍA ELÉCTRICA

• L·q'' + R·q' + q/C = E(t) es la misma ecuación que mx'' + βx' + kx = F(t).
• Inductancia ↔ masa · resistencia ↔ amortiguamiento · 1/capacitancia ↔ constante del resorte.

Por eso un solo método resuelve problemas de mecánica y de circuitos: son la misma matemática con distinta interpretación. Vale la pena tener presente la correspondencia.

EJERCICIOS

Zill, sección 5.1: movimiento libre y forzado.