GUÍA 01-10-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · jueves 01/10/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 16

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

POR QUÉ SISTEMAS

Muchos fenómenos involucran varias cantidades que cambian a la vez y dependen unas de otras: dos tanques conectados, dos masas acopladas, dos poblaciones que interactúan. Eso produce un sistema de ecuaciones diferenciales.

FORMA NORMAL

• dx/dt = a₁₁x + a₁₂y + f₁(t)
• dy/dt = a₂₁x + a₂₂y + f₂(t)

En forma matricial: X' = AX + F(t), con X el vector de incógnitas.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN CON OPERADORES

Se usa el operador D = d/dt para tratar el sistema algebraicamente, se elimina una variable y queda una sola ecuación de orden superior en la otra. Esa se resuelve con lo de las sesiones anteriores y luego se regresa a la primera.

EJEMPLO DEL PROCEDIMIENTO

1. Escribir el sistema con operadores: (D−a)x + by = f₁, cx + (D−d)y = f₂.

2. Eliminar y como si fuera un sistema algebraico.

3. Resolver la ecuación resultante en x.

4. Sustituir para obtener y.

5. Verificar que el número total de constantes sea el correcto: no puede exceder el orden del sistema.

ADVERTENCIA SOBRE CONSTANTES

Al eliminar es fácil terminar con más constantes de las que el sistema admite. Sustituir de vuelta en una de las ecuaciones originales las relaciona y elimina las sobrantes. Saltarse ese paso da respuestas incorrectas que parecen bien.

EJERCICIOS

Zill, sección 4.9: sistemas por eliminación.