GUÍA 29-09-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · martes 29/09/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 15

Variación de parámetros

EL MÉTODO GENERAL

Funciona para cualquier g(x) continua, sin restricción de forma. El precio es que exige calcular integrales que pueden ser feas.

LA IDEA

Se toma y_c = c₁y₁ + c₂y₂ y se reemplazan las constantes por funciones: y_p = u₁(x)y₁ + u₂(x)y₂. Se impone la condición auxiliar u₁'y₁ + u₂'y₂ = 0 para que el sistema quede determinado.

LAS FÓRMULAS

• u₁' = −y₂f(x)/W y u₂' = y₁f(x)/W, con W el wronskiano de y₁ e y₂.
• f(x) es el término independiente con la ecuación ya en forma estándar (coeficiente de y'' igual a 1).
• Se integra cada uno y se sustituye en y_p = u₁y₁ + u₂y₂.

EJEMPLO

y'' + y = sec x. La complementaria es y_c = c₁cos x + c₂sen x, con W = 1. Entonces u₁' = −sen x·sec x = −tan x, de donde u₁ = ln|cos x|; y u₂' = cos x·sec x = 1, de donde u₂ = x. Por lo tanto y_p = cos x·ln|cos x| + x·sen x.

Nota que sec x no es de los tipos permitidos por coeficientes indeterminados. Ese es exactamente el caso que este método cubre.

CUÁL USAR

• g(x) polinomio, exponencial, seno o coseno → coeficientes indeterminados, es más rápido.
• Cualquier otra cosa → variación de parámetros.

ERRORES FRECUENTES

• No normalizar la ecuación antes de identificar f(x).
• Confundir el signo de u₁'.
• Agregar constantes de integración a u₁ y u₂, que solo duplican y_c.

EJERCICIOS

Zill, sección 4.6.