GUÍA 24-09-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · jueves 24/09/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 14

Coeficientes indeterminados

PARA QUÉ SIRVE

Encuentra una solución particular y_p de la ecuación no homogénea cuando g(x) es de un tipo restringido: polinomios, exponenciales, senos y cosenos, y productos de ellos.

LA PROPUESTA SEGÚN G(X)

• g(x) polinomio de grado n → y_p = Aₙxⁿ + … + A₁x + A₀.
• g(x) = e^(αx) → y_p = Ae^(αx).
• g(x) = sen βx o cos βx → y_p = A cos βx + B sen βx (las dos, siempre).
• Productos → producto de las propuestas.

LA REGLA DE LA MULTIPLICIDAD

Si algún término de la propuesta ya aparece en y_c, hay que multiplicar toda la propuesta por x tantas veces como sea necesario hasta que no haya coincidencia. Olvidar esta regla es el error número uno del tema.

EJEMPLO CON MULTIPLICIDAD

y'' − 4y' + 4y = e^(2x). La complementaria es y_c = c₁e^(2x) + c₂xe^(2x). La propuesta natural Ae^(2x) ya está, y Axe^(2x) también. Hay que subir a y_p = Ax²e^(2x).

PROCEDIMIENTO

1. Resolver la homogénea y obtener y_c.

2. Proponer y_p según la forma de g(x).

3. Comparar con y_c y multiplicar por x^k si hace falta.

4. Derivar, sustituir e igualar coeficientes.

5. Escribir y = y_c + y_p.

LIMITACIÓN

Si g(x) es tan x, ln x o 1/x, este método no aplica. Para eso está variación de parámetros, la próxima sesión.

EJERCICIOS

Zill, sección 4.4.