GUÍA 22-09-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · martes 22/09/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 13

Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes

LA ECUACIÓN AUXILIAR

Para ay'' + by' + cy = 0 se propone y = e^(mx). Al sustituir queda e^(mx)(am² + bm + c) = 0, y como la exponencial nunca es cero, todo se reduce a resolver am² + bm + c = 0.

Una ecuación diferencial se convirtió en una ecuación algebraica. Ese es el aporte del método y por eso las de coeficientes constantes son las más fáciles.

LOS TRES CASOS

• Raíces reales distintas m₁ ≠ m₂: y = c₁e^(m₁x) + c₂e^(m₂x).
• Raíz real repetida m: y = c₁e^(mx) + c₂xe^(mx).
• Raíces complejas α ± βi: y = e^(αx)(c₁cos βx + c₂sen βx).

EJEMPLOS

• y'' − 5y' + 6y = 0 → m² − 5m + 6 = 0 → m = 2, 3 → y = c₁e^(2x) + c₂e^(3x).
• y'' + 4y' + 4y = 0 → (m+2)² = 0 → y = c₁e^(−2x) + c₂xe^(−2x).
• y'' + 9y = 0 → m = ±3i → y = c₁cos3x + c₂sen3x.

ORDEN SUPERIOR

Para orden n la ecuación auxiliar es de grado n. Una raíz de multiplicidad k aporta e^(mx), xe^(mx), …, x^(k−1)e^(mx). Las complejas siempre aparecen en pares conjugados.

INTERPRETACIÓN

Las raíces reales negativas dan decaimiento; las complejas puras dan oscilación pura; las complejas con parte real negativa dan oscilación amortiguada. Esa lectura será literalmente la física de las vibraciones mecánicas.

EJERCICIOS

Zill, sección 4.3.