GUÍA 17-09-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · jueves 17/09/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 12

Reducción de orden

CUÁNDO SE USA

Si ya se conoce una solución y₁ de una ecuación homogénea de segundo orden, la reducción de orden produce una segunda solución independiente y₂. Es la herramienta que completa un conjunto fundamental a partir de media respuesta.

EL MÉTODO

1. Proponer y₂ = u(x)·y₁(x).

2. Sustituir en la ecuación; el término en u se cancela porque y₁ ya es solución.

3. Queda una ecuación de primer orden en u', que se resuelve.

4. Integrar u' para obtener u, y con ella y₂.

LA FÓRMULA

Para y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 con y₁ conocida: y₂ = y₁·∫[e^(−∫P dx)/y₁²]dx.

Conviene saber deducirla, pero en el examen se usa directo. Hay que llevar la ecuación a forma estándar antes de aplicarla.

EJEMPLO

y'' − 4y' + 4y = 0 con y₁ = e^(2x). Aquí P = −4, así que e^(−∫P dx) = e^(4x) y y₁² = e^(4x). El integrando vale 1, entonces ∫dx = x y por tanto y₂ = xe^(2x).

Ese resultado anticipa lo de la próxima sesión: cuando la raíz característica se repite, la segunda solución lleva un factor x.

EJERCICIOS

Zill, sección 4.2.