GUÍA 15-09-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · martes 15/09/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 11

Teoría preliminar de ecuaciones lineales de orden superior

EL PROBLEMA

aₙ(x)y⁽ⁿ⁾ + … + a₁(x)y' + a₀(x)y = g(x). Si g(x) = 0 la ecuación es homogénea; si no, no homogénea. Toda la teoría se construye sobre la homogénea.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Si y₁ e y₂ son soluciones de la homogénea, cualquier combinación c₁y₁ + c₂y₂ también lo es. Esta propiedad es exclusiva de las ecuaciones lineales y es la razón de que se estudien aparte.

INDEPENDENCIA LINEAL Y WRONSKIANO

• Un conjunto {y₁,…,yₙ} es linealmente independiente si ninguna es combinación de las otras.
• W(y₁,…,yₙ) es el determinante de la matriz de las funciones y sus derivadas hasta orden n−1.
• Si W ≠ 0 en algún punto del intervalo, las soluciones son independientes y forman un conjunto fundamental.

ESTRUCTURA DE LA SOLUCIÓN GENERAL

• Homogénea: y_c = c₁y₁ + … + cₙyₙ (función complementaria).
• No homogénea: y = y_c + y_p, donde y_p es cualquier solución particular.

Esa descomposición es el mapa de toda la unidad: primero se resuelve la homogénea, luego se busca una particular. Los métodos de coeficientes indeterminados y variación de parámetros solo sirven para la segunda parte.

EJERCICIOS

Zill, sección 4.1: verificar independencia con el wronskiano y armar soluciones generales.