GUÍA 06-10-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · martes 06/10/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 17

Vibraciones mecánicas · Repaso del segundo parcial

EL MODELO MASA-RESORTE

Por la segunda ley de Newton y la ley de Hooke: m·d²x/dt² = −kx. Reescrito, x'' + ω²x = 0 con ω² = k/m. Es la ecuación de raíces complejas puras.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

• Solución: x(t) = c₁cos ωt + c₂sen ωt, equivalente a A·sen(ωt + φ).
• Amplitud A = √(c₁² + c₂²); periodo T = 2π/ω; frecuencia f = ω/2π.

La masa oscila para siempre porque el modelo no incluye pérdidas. Es una idealización útil, no una descripción.

MOVIMIENTO AMORTIGUADO

Al agregar una fuerza de fricción proporcional a la velocidad: mx'' + βx' + kx = 0. El discriminante de la ecuación auxiliar decide el comportamiento.

• β² − 4mk > 0 — sobreamortiguado: regresa al equilibrio sin oscilar.
• β² − 4mk = 0 — críticamente amortiguado: el retorno más rápido posible sin oscilación.
• β² − 4mk < 0 — subamortiguado: oscila con amplitud que decae exponencialmente.

Los tres casos de la ecuación auxiliar de la sesión 13 son literalmente estos tres comportamientos físicos. Es el mismo álgebra leída como movimiento.

REPASO: QUÉ ENTRA EN EL SEGUNDO PARCIAL

• Teoría preliminar: superposición, wronskiano, conjunto fundamental.
• Reducción de orden.
• Homogéneas con coeficientes constantes: los tres casos.
• Coeficientes indeterminados, con la regla de multiplicidad.
• Variación de parámetros.
• Sistemas por eliminación.
• Vibraciones mecánicas.

RECORDATORIO

Examen 2: jueves 8 de octubre, 20% de la calificación final.