GUÍA 01-09-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · martes 01/09/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 7

Ecuaciones exactas

LA IDEA

Una ecuación M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es exacta si proviene de diferenciar una función F(x,y) = C. Resolverla es reconstruir esa F.

CRITERIO DE EXACTITUD

La ecuación es exacta si y solo si ∂M/∂y = ∂N/∂x en una región simplemente conexa. Es una prueba de dos derivadas parciales, rápida de aplicar.

PROCEDIMIENTO

1. Verificar ∂M/∂y = ∂N/∂x.

2. Integrar M respecto a x: F(x,y) = ∫M dx + g(y).

3. Derivar ese resultado respecto a y e igualarlo a N.

4. Despejar g'(y), integrar y obtener g(y).

5. La solución implícita es F(x,y) = C.

EJEMPLO

(2xy + 3)dx + (x² − 1)dy = 0. Aquí ∂M/∂y = 2x y ∂N/∂x = 2x: es exacta. Integrando M: F = x²y + 3x + g(y). Derivando respecto a y: x² + g'(y) = x² − 1, entonces g'(y) = −1 y g(y) = −y. Solución: x²y + 3x − y = C.

CUANDO NO ES EXACTA

A veces un factor integrante la vuelve exacta. Si (∂M/∂y − ∂N/∂x)/N depende solo de x, entonces μ(x) = e^(∫[(My − Nx)/N]dx). Si el cociente análogo depende solo de y, hay un μ(y).

EJERCICIOS

Zill, sección 2.4.