GUÍA 03-09-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · jueves 03/09/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 8

Soluciones por sustitución

LA ESTRATEGIA

Cuando una ED no cae en ninguna de las categorías anteriores, un cambio de variable puede convertirla en una que sí. Hay tres sustituciones que cubren la mayoría de los casos del curso.

ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Si f(tx,ty) = f(x,y), la ecuación dy/dx = f(x,y) es homogénea de grado cero. Se sustituye y = ux, de donde dy/dx = u + x·du/dx. El resultado siempre es separable en u y x.

ECUACIÓN DE BERNOULLI

• Forma: dy/dx + P(x)y = f(x)yⁿ, con n ≠ 0 y n ≠ 1.
• Sustitución: v = y^(1−n).
• Resultado: dv/dx + (1−n)P(x)v = (1−n)f(x), que es lineal y se resuelve con factor integrante.

REDUCCIÓN A SEPARABLE

Si la ecuación tiene la forma dy/dx = f(Ax + By + C), la sustitución u = Ax + By + C la vuelve separable.

CÓMO DECIDIR EL MÉTODO

1. ¿Se separan las variables? Separables.

2. ¿Está en la forma y' + P(x)y = f(x)? Lineal, factor integrante.

3. ¿Cumple ∂M/∂y = ∂N/∂x? Exacta.

4. ¿Es homogénea de grado cero? Sustitución y = ux.

5. ¿Tiene un yⁿ del lado derecho? Bernoulli.

Ese árbol de decisión, en ese orden, resuelve prácticamente todo el examen. Vale la pena tenerlo escrito y practicar clasificar antes de resolver.

EJERCICIOS

Zill, sección 2.5. Practicar identificar el tipo sin resolver: veinte ecuaciones, solo clasificarlas.