GUÍA 27-08-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · jueves 27/08/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 6

Ecuaciones lineales de primer orden · Factor integrante

FORMA ESTÁNDAR

dy/dx + P(x)y = f(x). Antes de cualquier cosa hay que llevar la ecuación a esta forma: el coeficiente de dy/dx debe ser 1.

EL FACTOR INTEGRANTE

Se multiplica toda la ecuación por μ(x) = e^(∫P(x)dx). El truco es que el lado izquierdo se convierte exactamente en la derivada de un producto.

• μy' + μPy = μf → d/dx[μ(x)·y] = μ(x)f(x)
• Se integra: μ(x)y = ∫μ(x)f(x)dx + C
• Se despeja: y = (1/μ(x))·[∫μ(x)f(x)dx + C]

EJEMPLO

y' + 2y = e^x. Aquí P = 2, así que μ = e^(2x). Multiplicando: d/dx[e^(2x)y] = e^(3x). Integrando: e^(2x)y = e^(3x)/3 + C. Por lo tanto y = e^x/3 + Ce^(−2x).

ESTRUCTURA DE LA SOLUCIÓN

Observa que la solución tiene dos partes: una que depende de f(x) y otra que decae con la constante. Esa separación entre respuesta forzada y respuesta natural reaparecerá en toda la unidad 2 y en circuitos eléctricos.

ERRORES FRECUENTES

• Aplicar la fórmula sin normalizar primero el coeficiente de y'.
• Incluir constante al calcular ∫P dx (no hace falta, se absorbe).
• Olvidar multiplicar el lado derecho por μ.

EJERCICIOS

Zill, sección 2.3.