GUÍA 25-08-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · martes 25/08/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 5

Variables separables · Modelos y aplicaciones

DE DÓNDE SALEN ESTAS ECUACIONES

La forma dy/dt = ky dice «la razón de cambio es proporcional a la cantidad presente». Aparece en tantos contextos que conviene reconocerla de inmediato.

CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO

• dP/dt = kP → P(t) = P₀e^(kt). k > 0 crecimiento, k < 0 decaimiento.
• Vida media: el tiempo en que la cantidad se reduce a la mitad, t½ = ln2/|k|.

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

• dT/dt = k(T − Tₘ), con Tₘ la temperatura del medio.
• Es separable: dT/(T − Tₘ) = k dt → T(t) = Tₘ + (T₀ − Tₘ)e^(kt).

La temperatura tiende a Tₘ cuando t → ∞, que es lo que dice el sentido común. Verificar que el resultado sea físicamente razonable es parte de resolver el problema.

ECUACIÓN LOGÍSTICA

• dP/dt = kP(1 − P/M), con M la capacidad de carga.
• Es separable pero requiere fracciones parciales para integrar.
• La solución tiende a M; el crecimiento exponencial es solo la fase inicial.

CÓMO PLANTEAR UN PROBLEMA DE MODELADO

1. Identificar la variable dependiente y qué representa.

2. Traducir la frase de razón de cambio a una derivada.

3. Escribir la proporcionalidad y nombrar la constante.

4. Extraer las condiciones iniciales del enunciado.

5. Resolver, y verificar que las unidades y el comportamiento asintótico tengan sentido.

EJERCICIOS

Zill, sección 3.1: problemas de crecimiento, decaimiento y enfriamiento.