GUÍA 18-08-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · martes 18/08/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 3

Problemas de valor inicial · Existencia y unicidad

RECORDATORIO DE LA TERMINOLOGÍA

• Orden — el de la derivada más alta. y'' + 3y' = x es de orden 2.
• Lineal — la incógnita y sus derivadas aparecen a la primera potencia y sin multiplicarse entre sí. Los coeficientes pueden depender de x, nunca de y.
• Forma general lineal de orden n: aₙ(x)y⁽ⁿ⁾ + … + a₁(x)y' + a₀(x)y = g(x).

Prueba rápida de linealidad: y·y' no es lineal, y' + x²y sí lo es. sen(y) no es lineal; sen(x)·y sí.

PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Una ED tiene infinitas soluciones —una familia con constantes arbitrarias—. Una condición inicial selecciona una sola de esa familia.

• PVI de primer orden: dy/dx = f(x,y), con y(x₀) = y₀.
• La solución general lleva n constantes; hacen falta n condiciones para fijarlas todas.

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Si f(x,y) y ∂f/∂y son continuas en un rectángulo R que contiene al punto (x₀,y₀), entonces existe un intervalo alrededor de x₀ donde el PVI tiene solución única.

Lo importante: es una condición suficiente, no necesaria. Que falle no significa que no haya solución; significa que el teorema no dice nada.

POR QUÉ IMPORTA ANTES DE RESOLVER

Verificar el teorema antes de calcular evita perseguir soluciones que no existen o creer que se encontró «la» solución cuando hay varias. En ingeniería, un modelo sin unicidad suele señalar que al modelo le falta una restricción física.

EJERCICIOS SUGERIDOS

Zill, sección 1.2: verificar existencia y unicidad en varios PVI e identificar dónde falla la hipótesis.