GUÍA 13-08-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · jueves 13/08/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 2

Clasificación, verificación de soluciones y modelado

PRÁCTICA DE CLASIFICACIÓN

Antes de aprender métodos hay que saber reconocer con qué se trata. Clasificar rápido y bien es lo que después permite elegir el método correcto en el examen.

1. ¿Ordinaria o parcial?

2. ¿Cuál es el orden?

3. ¿Es lineal o no lineal?

4. ¿Es homogénea, es decir, el término independiente es cero?

FAMILIAS DE SOLUCIONES

La solución general de una ED de primer orden es una familia de curvas con un parámetro. Graficarlas para varios valores de la constante hace visible qué significa «familia»: son curvas que no se cruzan y llenan la región.

CAMPOS DIRECCIONALES

Para y' = f(x,y), en cada punto del plano se dibuja un segmento con pendiente f(x,y). Las soluciones son las curvas tangentes a esos segmentos en todo punto.

Es una herramienta valiosa: permite ver el comportamiento cualitativo de las soluciones sin resolver la ecuación. Hay ecuaciones que no se pueden resolver analíticamente y cuyo campo direccional dice todo lo que hace falta saber.

SOLUCIONES DE EQUILIBRIO

Si y' = f(y) y f(c) = 0, entonces y = c es una solución constante. Las soluciones cercanas se acercan o se alejan de ella, y eso la vuelve estable o inestable. Es el primer análisis cualitativo del curso.

TRADUCIR UN ENUNCIADO A UNA ECUACIÓN

• «La razón de cambio de P es proporcional a P» → dP/dt = kP.
• «…es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura ambiente» → dT/dt = k(T − Tₘ).
• «…es proporcional al producto de P y M − P» → dP/dt = kP(M − P).

La palabra «proporcional» siempre introduce una constante k que hay que nombrar y determinar después con los datos.

EJERCICIOS

Zill, sección 1.1: clasificar y verificar soluciones. Sección 1.2 para campos direccionales. Practicar veinte ecuaciones solo clasificándolas, sin resolver.