GUÍA 17-11-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · martes 17/11/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 29

Transformada de una función periódica

EL TEOREMA

Si f(t) es periódica con periodo T, entonces ℒ{f(t)} = [1/(1−e^(−sT))]·∫₀^T e^(−st)f(t)dt.

La integral solo se calcula sobre un periodo. El factor 1/(1−e^(−sT)) suma implícitamente la serie geométrica de todas las repeticiones.

POR QUÉ FUNCIONA

La integral de 0 a ∞ se parte en tramos de longitud T. Cada tramo aporta lo mismo que el primero multiplicado por una potencia de e^(−sT), y la suma de esa progresión geométrica da el factor del teorema.

FUNCIONES TÍPICAS

• Onda cuadrada — la entrada de un circuito digital conmutado.
• Onda diente de sierra — barrido de tiempo.
• Rectificación de media onda — fuente de alimentación.

PROCEDIMIENTO

1. Identificar el periodo T.

2. Escribir f(t) en el intervalo [0,T).

3. Calcular ∫₀^T e^(−st)f(t)dt.

4. Dividir entre (1 − e^(−sT)).

CONEXIÓN CON EL RESTO DEL CURSO

Con esto se puede resolver mx'' + βx' + kx = f(t) con f periódica no senoidal, que es el caso realista en maquinaria y en electrónica de potencia. Los métodos de la unidad 2 no llegan ahí.

EJERCICIOS

Zill, sección 7.4, tercera parte.