GUÍA 12-11-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · jueves 12/11/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 28

Transformadas de integrales · Convolución

LA CONVOLUCIÓN

(f∗g)(t) = ∫₀^t f(τ)g(t−τ)dτ. Es una operación entre dos funciones que produce una tercera; no es el producto ordinario.

TEOREMA DE CONVOLUCIÓN

ℒ{f∗g} = F(s)·G(s). El producto en el dominio de s corresponde a la convolución en el tiempo, no al producto en el tiempo.

Esa distinción es la que hay que retener: ℒ{f·g} ≠ F(s)·G(s). Es un error muy común y produce respuestas completamente equivocadas.

PARA QUÉ SE USA

• Invertir productos F(s)G(s) sin descomponer en fracciones parciales.
• Resolver ecuaciones integrales de Volterra.
• Expresar la respuesta de un sistema lineal a una entrada arbitraria.

TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL

ℒ{∫₀^t f(τ)dτ} = F(s)/s. Es el caso particular de la convolución con g = 1: integrar en el tiempo equivale a dividir entre s.

LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Si Y(s) = H(s)X(s), entonces y(t) = (h∗x)(t): la salida de un sistema lineal es la convolución de la entrada con la respuesta al impulso. Esta idea es el fundamento de sistemas y señales, y de todo el control clásico.

EJERCICIOS

Zill, sección 7.4, segunda parte.