GUÍA 10-11-26 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

HU325 · martes 10/11/2026 · 13:00-14:15 · Sesión 27

Derivadas de una transformada

EL TEOREMA

ℒ{t^n·f(t)} = (−1)^n · d^n/ds^n [F(s)]. Multiplicar por t en el tiempo equivale a derivar respecto a s y cambiar el signo.

CASOS FRECUENTES

• ℒ{t·sen kt} = 2ks/(s²+k²)²
• ℒ{t·cos kt} = (s²−k²)/(s²+k²)²
• ℒ{t·e^(at)} = 1/(s−a)²

DÓNDE APARECE

Las potencias de t multiplicando funciones son exactamente lo que produce la resonancia. La aparición de (s²+k²)² en el denominador es la firma de que hubo coincidencia de frecuencias.

USO INVERSO

Cuando al resolver un PVI aparece un denominador elevado al cuadrado, como (s²+4)², la inversa involucra t multiplicando una función trigonométrica. Reconocer el patrón ahorra fracciones parciales imposibles.

ECUACIONES CON COEFICIENTES VARIABLES

El teorema también permite atacar algunas ecuaciones con coeficientes polinomiales en t, como ty'' + y' + ty = 0. Al transformar, el término con t se vuelve una derivada en s y queda una ecuación diferencial de primer orden en Y(s), a veces más fácil que la original.

EJERCICIOS

Zill, sección 7.4, primera parte.